题目

字符串 APPAPT 中包含了两个单词 PAT，其中第一个 PAT 是第 2 位(P)，第 4 位(A)，第 6 位(T)；第二个 PAT 是第 3 位(P)，第 4 位(A)，第 6 位(T)。

现给定字符串，问一共可以形成多少个 PAT？

输入格式：

输入只有一行，包含一个字符串，长度不超过 $10^5$ ，只包含 P、A、T 三种字母。

输出格式：

在一行中输出给定字符串中包含多少个 PAT。由于结果可能比较大，只输出对 1000000007 取余数的结果。

输入样例：

1

APPAPT

输出样例：

1

2

思路

这明明是一道数学题。。

怎么分析呢？从前向后扫描：

  • 每个A对应的PA组合数量是A之前P的数量，
  • 每个T对应的PAT组合数量是T之前所有A对应的PA组合数量的累加，
  • 所有的PAT组合数量是所有T对应的PAT组合数量的累加

。。。懂？。。。

其实看通过率应该是很多人都会的哈。这道题属于典型的90%时间用于思考，10%时间用于码代码的类型。。。。

然后证明一下这个magic number——1000000007为什么是这个数（大概等于）以及什么时候应该取模： 我们用有符号32位整型来计数，按照我代码里的变量名：P、PA、PAT。

  • P每次自增1，因此最大会达到$10^5$，不需取模。
  • PA每次累加P的值，我们来看一个比较极端的情况：
    • "PAPA ... (共50000对PA) ... PA"，这样记录PA的组合数量，就是 PA=$\sum_{i=1}^{50000}i=2500050000$，就已经大于int了，因此计算PA应该取模。
  • PAT每次累加PA的值，因此两个值都会比较大，必须要取模。累加之后的数会小于2000000013，这个值小于int的最大值$2^{31}-1=2147483647$，不会溢出（模取得过大就会在没来得及取模之前就溢出了，我觉得这是关键）。
    • 那用unsigned int呢，PA是不是不需要取模了？我觉得是的。
  • 这道题是要检查答案的，用一个素数做模应该有避免巧合答案的考虑。

写完这个发现博客 http://www.liuchuo.net/archives/573 也有相关的解释，并且解题思路也不一样，是累加每个A两边P和T的个数之积。

代码

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#include <stdio.h>

#define LIM 1000000007

int main()
{
	int P = 0, PA = 0, PAT = 0;
	char c;

	while ((c = getchar()) != EOF && c != '\n') {
		if (c == 'P')
			P++;
		if (c == 'A')
			PA = (PA + P) % LIM;
		if (c == 'T')
			PAT = (PAT + PA) % LIM;
	}
	printf("%d", PAT);

	return 0;
}