题目

给定一个正数数列，我们可以从中截取任意的连续的几个数，称为片段。例如，给定数列 { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 }，我们有 (0.1) (0.1, 0.2) (0.1, 0.2, 0.3) (0.1, 0.2, 0.3, 0.4) (0.2) (0.2, 0.3) (0.2, 0.3, 0.4) (0.3) (0.3, 0.4) (0.4) 这 10 个片段。

给定正整数数列，求出全部片段包含的所有的数之和。如本例中 10 个片段总和是 0.1 + 0.3 + 0.6 + 1.0 + 0.2 + 0.5 + 0.9

  • 0.3 + 0.7 + 0.4 = 5.0。

输入格式：

输入第一行给出一个不超过 $10^5$ 的正整数 $N$ ，表示数列中数的个数，第二行给出 $N$ 个不超过 1.0 的正数，是数列中的数，其间以一个空格分隔。

输出格式：

在一行中输出该序列所有片段包含的数之和，精确到小数点后 2 位。

输入样例：

1
2

4
0.1 0.2 0.3 0.4

输出样例：

1

5.00

感谢 Ruihan Zheng 对测试数据的修正。

思路

又是一道数学题。 解题的代码很少，不过在下面的分析中还加入了浮点型数据精度的分析，虽然不是必要的。

  • 先计算出数列中每一个元素在所有片段和中被包含的次数：

    每一个包含a[i]的片段需要在a[i]左侧（包含a[i]）和a[i]右侧（也包含a[i]）各选取一个端点。我们使用0开始的计数。左侧端点选取可能有i+1种，右侧端点选取可能有N-i种。

    因此包含a[i]的片段和一共有(i+1)(N-i)种，做一个加权求和即可求出片段和：

    \[\sum_{i=0}^{N-1}(i+1)(N-i)a_i\]

  • 严谨起见的分析： 最大可能的片段和（我们要用的变量类型）：

    令N=100000，任意i都有a[i]=1.0，此时的片段和为

    \[\sum_{i=1}^{N}i(N-i+1)=\frac{1}{6}N(N+1)(N+2))\]

    这个数约等于1.67e14，题目要求精度达到小数点后2位，即相当于相对误差最多为6e-17。然后我们看一下不同浮点型(Wiki)的精度：

    • 单精度浮点的误差：尾数部分有23位，精度为1.2e-7；
    • 双精度浮点的误差：尾数部分有52位，精度为2.2e-16；
    • 扩展精度的浮点型的误差：尾数部分有63位，精度为1.1e-19；

    可以看出单精度浮点是绝对不能用的，虽然双精度浮点的误差略大于上面分析的结果，但是我觉得PAT不会（事实上也没有）挖这个坑，所以用double类型的会过（我没有试过float）。如果要写更加严谨的代码，应使用long double。

  • 还有一个问题，看了这篇博客才发现，同样是数据范围的问题。(i+1)(N-i)最大值约为N^2/4也就是2.5e9，32位有符号整型int的最大值是2^31-1，约为2e9，先乘这两个整数可能会发生溢出。那篇博客说在求和时先算这两个整数的乘积会有测试点过不去，就是测试点在测试N很大的情况。

代码

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#include <stdio.h>

int main()
{
	int N;
	double ai, sum = 0;

	scanf("%d", &N);
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		scanf("%lf", &ai);
		/* ai is put at the beginning to avoid overflow */
		sum += ai * (i + 1) * (N - i);
	}
	printf("%.2lf", sum);

	return 0;
}